Question

10．在△ABC中，E、F、P分别在边BC、CA、AB上，已知AE、BF、CP相交于一点D，且$\frac{AD}{DE}$+$\frac{BD}{DF}$+$\frac{CD}{DP}$=1994，则$\frac{AD}{DE}$•$\frac{BD}{DF}$•$\frac{CD}{DP}$的值等于1996．

Answer 1

分析 观察所求式子可知，直接进行线段比值推导明显很复杂，因此可考虑从面积的角度入手．不妨设S_△ABD=S₁，S_△BDC=S₂，S_ADC=S₃，则$\frac{AD}{DE}$、$\frac{BD}{DF}$、$\frac{CD}{DP}$均可以用S₁、S₂、S₃表示，三者相乘化简即可得结果．

解答 解：设S_△ABD=S₁，S_△BDC=S₂，S_ADC=S₃，
 

则$\frac{AD}{DE}=\frac{{S}_{ABD}}{{S}_{BDE}}$=$\frac{{S}_{△ADC}}{{S}_{△DEC}}$=$\frac{{S}_{△ABD}+{S}_{△ADC}}{{S}_{△BDE}+{S}_{△DEC}}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{3}}{{S}_{2}}$，
同理：$\frac{BD}{DF}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{3}}$，$\frac{CD}{DP}=\frac{{S}_{2}+{S}_{S}}{{S}_{1}}$，
$\frac{AD}{DE}+\frac{BD}{DF}+\frac{CD}{DP}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{3}}{{S}_{2}}$+$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{3}}$+$\frac{{S}_{2}+{S}_{S}}{{S}_{1}}$=1994，
$\frac{AD}{DE}•\frac{BD}{DF}•\frac{CD}{DP}$=$\frac{{S}_{1}+{S}_{3}}{{S}_{2}}$•$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}}{{S}_{3}}$•$\frac{{S}_{2}+{S}_{S}}{{S}_{1}}$=1994+2=1996．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质及面积法，难度较大．在面对较复杂的线段比例问题时，借助面积法往往会使问题得以简化，这一点值得注意．