Question

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠CAB=30°，BC=1，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求AC，AD的长．
（2）廷长AB至点P，连接PC，当BP等于多少时，PC与⊙O相切？为什么？

Answer 1

分析 （1）连接BD，在Rt△ABC中，可求得AB、AC，又可知△ABD为等腰直角三角形，可求得AD；
（2）连接OC，可先证明△OBC为等边三角形，当PC为切线时，可求得BP=BC，可得出结论．

解答 解：
（1）如图1，连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB=30°，BC=1，
∴AB=2，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵CD平分∠ACB，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$；
（2）如图2，连接OC，

∵∠CAB=30°，
∴∠COB=60°，
∴△OBC为等边三角形，
当PC为⊙O的切线时，则∠OCP=90°，
∴∠BCP=∠BPC=30°，
∴PB=BC=1，
即当PB=1时，PC与⊙O相切．

点评 本题主要考查切线判定和性质及解直角三角形，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．