Question

20．某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少10台，但不超过70台，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x（单位：台）	10	20	30
y（单位：万元∕台）	60	55	50

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系，求z与a之间的函数关系式．
（3）若该厂第一个月生产这种机器50台，且第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）

Answer 1

分析 （1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；
（2）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，运用待定系数法求出其解析式，
（3）将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．

解答 解：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得
$\left\{\begin{array}{l}{60=10k+b}\\{50=30k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=65}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+65．
∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，
∴10≤x≤70；
（2）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，由函数图象，得
$\left\{\begin{array}{l}{35=55m+n}\\{15=75m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=90}\end{array}\right.$，
∴z=-a+90．
（3）当z=25时，a=65，
成本y=-$\frac{1}{2}$x+65=-$\frac{1}{2}$×50+65=40（万元）；
总利润为：25（65-40）=625（万元）．
答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元二次方程的运用，销售问题利润=售价-进价的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．