Question

4．如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线y=$\frac{4}{x}$（x＞0）上一动点，以OA为边作等边△AOB，高BC的最小值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 直接利用反比例函数图象上点的坐标特征得出AO的最小值，进而得出BC的最小值．

解答 解：设A点横坐标为：x，则纵坐标为：$\frac{4}{x}$，
故AO=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$≥2$\sqrt{{x}^{2}×\frac{16}{{x}^{2}}}$，
故$\sqrt{{x}^{2}+\frac{16}{{x}^{2}}}$≥8，
当x=2时AO最小，则AO=2$\sqrt{2}$，
故等边三角形AOB的高BC的最小值为：2$\sqrt{2}$×sin60°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，正确得出AO的最小值是解题关键．