Question

7．如图1，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P在边AD上运动，PM⊥AC于点M，PN⊥BD于点N．设PM=x，PN=y，且y与x满足一次函数关系，其图象如图2所示，其中a=6，以下判断中，不正确的是（　　）

• A． Rt△ABD中斜边BD上的高为6
• B． 无论点P在AD上何处，PM与PN的和始终保持不变
• C． 当x=3时，OP垂直平分AD
• D． 若AD=10，则矩形ABCD的面积为60

Answer 1

分析 （A）根据图②中的信息求得y的最大值，即可得出Rt△ABD中斜边BD上的高；
（B）根据图②中的信息可得，y与x满足一次函数关系，x与y的和为定值；
（C）先判断P为AD的中点，再根据等腰三角形AOD三线合一即可得出结论；
（D）先根据勾股定理求得DE，再利用射影定理求得BE，最后根据矩形的面积等于△ABD面积的2倍进行计算即可．

解答 解：（A）由图②可得，x+y=6，所以当x=0时，y=6，即PN的最大值为6，所以Rt△ABD中斜边BD上的高AE为6，故（A）正确；
（B）由图②可得，x+y=6，所以无论点P在AD上何处，PM与PN的和始终为6，故（B）正确；
（C）当x=3时，y=3，此时PN=PM，易得△APM≌△DPN，所以点P为AD的中点，所以等腰三角形AOD中，OP垂直平分AD，故（C）正确；
（D）若AD=10，则直角三角形ADE中，DE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，由射影定理可得BE=$\frac{A{E}^{2}}{DE}$=$\frac{9}{2}$，所以矩形ABCD的面积=2×$\frac{1}{2}$×（$\frac{9}{2}$+8）×6=75，故（D）错误．

点评 本题以动点问题为背景考查了矩形的性质与一次函数的图象，判断PM+PN的值是定值是解决问题的关键，解题时注意：图①中，根据面积法可得PM+PN=AE．