Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示），那么，在上述旋转过程中：
（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，设BH=x．
①当△CKH的面积为$\frac{5}{2}$时，求出x的值．
②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，利用ASA即可证明△COK≌△BOH，则BH=CK，S_{四边形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB，据此即可求解；
（2）①由（1）知CK=BH=x，CH=6-x，根据三角形的面积公式即可列方程求解；
②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为9，根据S_△OKH=S_{四边形CHOK}-S_△CKH，把△OKH的面积表示成x的函数，利用二次函数的性质求解．

解答 解：（1）在旋转过程中，BH=CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半．
理由如下：连接OC．
∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB，
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB．
又∵∠COK与∠BOH均为旋转角，
∴∠COK=∠BOH=α，
在△COK和△BOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠B}\\{OC=OB}\\{∠COK=∠BOH}\end{array}\right.$，
∴△COK≌△BOH，
∴BH=CK，S_{四边形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=$\frac{1}{2}$S_△ABC=9．
（2）①由（1）知CK=BH=x，
∵BC=6，
∴CH=6-x，根据题意，得$\frac{1}{2}$CH•CK=$\frac{5}{2}$，
即（6-x）x=5，解这个方程得x₁=1，x₂=5，
此两根满足条件：0＜x＜6，
所以当△CKH的面积为$\frac{5}{2}$时，x的取值是1或5；
②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为9，
∴S_△OKH=S_{四边形CHOK}-S_△CKH=9-$\frac{1}{2}$x（6-x）=$\frac{1}{2}$（x²-6x）+9=$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＞0，
∴当x=3时，函数S_△OKH有最小值$\frac{9}{2}$，
∵x=3满足条件0＜x＜6，
∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是3．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及二次函数的性质，正确利用x表示出△OKH的面积是关键．