Question

5．如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，又延长BA到E，使AE=BD，连接CE，DE，求证：△CDE为等腰三角形．

Answer 1

分析 延长BD至F，使DF=BC，连接EF，由AE=BD，三角形ABC为等边三角形，得到AB=BC=AC，且∠B=60°，利用等式的性质及等量代换得到BE=BF，进而得到三角形BEF为等边三角形，即∠F=60°，利用SAS得到三角形ECB和三角形DEF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

解答 证明：延长BD至F，使DF=BC，连接EF，
∵AE=BD，△ABC为等边三角形，
∴DF=BC=AB，即AE+AB=BD+DF，∠B=60°，
∴BE=BF，
∴△BEF为等边三角形，
∴∠F=60°，
在△ECB和△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=EF}\\{∠B=∠F=60°}\\{BC=DF}\end{array}\right.$
∴△ECB≌△EDF（SAS），
∴EC=ED，
即△CDE为等腰三角形．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质进行推理是解本题的关键．