Question

1．如图，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°，∠CDB=30°．求证：△ABC是等边三角形．

Answer 1

分析 如图作等边三角形BDE，连结AE，先证明△ABE≌△ADE，再证明△BAE≌△BCD得到AB=BC由此即可证明．

解答 证明：如图作等边三角形BDE，连结AE．
∵∠ABD=∠ADB=15°，
∴AB=AD
∵EB=ED，
在△ABE和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EB=ED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADE（SSS），
∴∠AEB=∠AED=30°，
∵∠BDC=30°，
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠EBD=60°，∠ABD=15°，
∴∠EBA=45°=∠CBD
在△BAE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠BDC}\\{BE=DB}\\{∠EBA=∠CBD}\end{array}\right.$
∴△BAE≌△BCD（ASA）
∴BA=BC
∵∠ABC=∠ABD+∠CBD
=15°+45°
=60°
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，题目有点难度，记住作等边三角形也是常用辅助线，属于中考常考题型．