Question

18．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为6²+8²=4×5²=100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是2，$\sqrt{5}$和4，则此三角形是常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$：$\sqrt{5}$（请按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，进而求出答案．

解答 解：（1）∵2²+4²=4×（$\sqrt{5}$）²=20，
∴△ABC三边长分别是2，$\sqrt{5}$和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；

（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
则a²+b²=c²，a²+c²=4b²，
则2a²=3b²，
故a：b=$\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$，
∴设a=$\sqrt{3}$x，b=$\sqrt{2}$x，
则c=$\sqrt{5}$x，
∴此三角形的三边长之比为：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$：$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$：$\sqrt{5}$；

（3）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，
∴AD=BD=DC，CD²+BD²=4×6²，
解得：BD=DC=6$\sqrt{2}$，
则AB=12$\sqrt{2}$，
故AC=$\sqrt{（12\sqrt{2}）^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{7}$，
则△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{7}$=$18\sqrt{7}$．
当AD=BD=DC，CD²+BC²=4×BD²，
解得：BD=DC=2$\sqrt{3}$，
则AB=4$\sqrt{3}$，
故AC=2$\sqrt{3}$，
则△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
故△ABC的面积为$18\sqrt{7}$或6$\sqrt{3}$．

点评 此题主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．