Question

8．已知△ABC中，∠A=30°．
（1）如图①，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=105°．
（2）如图②，∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O₁、O₂，则∠BO₂C=80°．
（3）如图③，∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O₁、O₂…O_n-1（内部有n-1个点），求∠BO_n-1C（用n的代数式表示）．
（4）如图③，已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O₁、O₂…O_n-1，若∠BO_n-1C=60°，求n的值．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．
（2）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据三等分线的定义求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可求出∠BO₂C．
（3）先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根据n等分线的定义求得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可求出∠BO_n-1C．
（4）依据（3）的结论即可求出n的值．

解答 解：∵∠BAC=30°，
∴∠ABC+∠ACB=150°，
（1）∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=75°，
∴∠BOC=105°；
（2）∵点O₂是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=100°，
∴∠BO₂C=80°；
（3）∵点O_n-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{n-1}{n}$×150°，
∴∠BO_n-1C=180°-$\frac{n-1}{n}$×150°
（4）由（3）得：180°-$\frac{n-1}{n}$×150°=60°，
解得：n=5．

点评 本题主要考查等分线的性质以及三角形内角和定理，根据题意找出规律是解题的关键．