Question

10．已知，如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=20cm，AD=30cm，动点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s，同时，动点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为3cm/s，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，设运动的时间为t秒（0＜t＜10）．
（1）当t为何值时，PQ⊥AB？
（2）设五边形AQPCD的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻使得点B在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值，并求出此时五边形AQPCD的面积；若不存在，请说明理由；
（4）试用含t的代数式表示线段PQ的长度．

Answer 1

分析 （1）先由PQ⊥AB得出直角三角形，再用锐角三角函数建立方程求解即可；
（2）先求出平行四边形ABCD的边BC上的高AF=10$\sqrt{3}$，从而求出平行四边形ABCD的面积，再求出三角形BPQ的面积，做差即可；
（3）由条件得出BQ=BP，求出时间t的值，代入（2）的函数关系式中即可求出五边形AQPCD的面积；
（3）利用锐角三角函数求出BE，QE，再用勾股定理求出PE，从而得出PQ．

解答 解：（1）由运动知AQ=2t，BP=3t，
∴BQ=AB-AQ=20-2t，
∵PQ⊥AB，
∴∠BQP=90°，
在Rt△BQP中，∠ABC=60°，
∴cos∠ABC=$\frac{BQ}{BP}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{20-2t}{3t}$，
∴t=$\frac{40}{7}$，
（2）如图，

过点Q作QE⊥BC，过点A作AF⊥BC，
∴∠BEQ=∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，AF=ABsin∠ABC=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$
∴S_{平行四边形ABCD}=BC×AF=30×10$\sqrt{3}$=300$\sqrt{3}$，
在Rt△BEQ中，∠ABC=60°，
∴cos∠ABC=$\frac{BE}{BQ}$，
∴BE=BQcos∠ABC=（20-2t）×$\frac{1}{2}$=10-t，
QE=BQsin∠ABC=（20-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（10-t），
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QE=$\frac{1}{2}$×3t×$\sqrt{3}$（10-t）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t（10-t）．
∴S=S_{平行四边形ABCD}-S_△BPQ=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t（10-t）=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t²-15$\sqrt{3}$t+300$\sqrt{3}$．
（3）存在，
∵点B在线段PQ的垂直平分线上，
∴BQ=BP，
∴20-2t=3t，
∴t=4，
∴S=S_{平行四边形ABCD}-S_△BPQ=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t（10-t）=300$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$×4（10-4）=264$\sqrt{3}$，
（4）在Rt△BEQ中，∠ABC=60°，
∴cos∠ABC=$\frac{BE}{BQ}$，
∴BE=BQcos∠ABC=（20-2t）×$\frac{1}{2}$=10-t，
QE=BQsin∠ABC=（20-2t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$（10-t），
在Rt△QPE中，PE=BP-BE=3t-（10-t）=4t-10，
∴PQ=$\sqrt{Q{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{[\sqrt{3}（10-t）]^{2}+（4t-10）^{2}}$=$\sqrt{5{t}^{2}-52t+200}$．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，三角形的面积，平行四边形的面积，垂直平分线的性质，垂直的意义，解本题的关键是求出求出三角形PQB的面积．难点是求出PQ．