Question

15．等边△ABC内接于⊙O，点D在$\widehat{AC}$上，连接AD，CD，BD，BD交AC边于点E．
（1）如图1，求证：∠ADB=∠BDC=60°；
（2）如图2，若BD=3CD，求证：AE=2CE；
（3）在（2）的条件下，连接OE，若BE=14，求线段OE的长．

Answer 1

分析 （1）根据同弧所对的圆周角相等，推出∠BDC=∠BAC=60°，∠ADC=∠ACB=60°即可解决问题．
（2）如图2中，在BD上截取DH=DC，作EN⊥AD，EM⊥CD垂足分别为N、M．由△ACD≌△BCH推出BD=DA+DC，结合条件推出AD=2DC，再根据$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△EDC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AD•EN}{\frac{1}{2}•CD•EM}$=$\frac{2}{1}$，即可证明．
（3）如图3中，连接AO，由此AO交BC于M，连接OE，作EN⊥BC于N，设OE=x．用x表示BN、EN，在Rt△EBN中，利用勾股定理列出方程即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠BDC=∠BAC，∠ADC=∠ACB，
∴∠ADB=∠BDC=60°．

（2）如图2中，在BD上截取DH=DC，作EN⊥AD，EM⊥CD垂足分别为N、M．

∵∠HDC=60°，DH=DC，
∴△DHC是等边三角形，
∴HC=DC，∠CHD=60°，
∴∠BCA=∠HCD=60°，
∴∠BCH=∠ACD，
在△BCH和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCH}\\{CD=CH}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCH，
∴BH=AD，
∴BD=BH+HD=AD+CD．
∵BD=3CD，
∴3CD=AD+CD，
∴AD=2CD，
∵∠ADB=∠BDC，EN⊥DA，EM⊥DC，
∴EN=EM，
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△EDC}}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AD•EN}{\frac{1}{2}•CD•EM}$=$\frac{2}{1}$，
∴AE=2CE．

（3）如图3中，连接AO，由此AO交BC于M，连接OE，作EN⊥BC于N，设OE=x．

∵O是等边三角形的外心，
∴OA=2OM，∵AE=2EC，
∴$\frac{OA}{OM}$=$\frac{AE}{EC}$，
∴OE∥CM，
∵AM⊥BC，
∴AO⊥OE，
∵∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴AE=2x，EC=x，CN=$\frac{1}{2}$x，BN=$\frac{5}{2}$x，EN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
在Rt△BNE中，∵BE²=BN²+EN²，
∴14²=（$\frac{5}{2}x$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）²，
∴x²=28，
∵x＞0，
∴x=2$\sqrt{7}$．
∴OE=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的判定．勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型．