Question

6．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD交BD的延长线于点E，CE=1，延长CE、BA交于点F．
（1）求证：△ADB≌△AFC；
（2）求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）欲证明△ADB≌△AFC，只要证明∠ACF=∠2即可．
（2）由（1）可知BD=CF，只要证明BC=BF，可得EC=EF=1，即可解决问题．

解答 证明：（1）如图，

∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，
∴∠ACF=∠2，
在△ABF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BAD=90°}\\{∠ACF=∠2}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△ABD．

（2）∵△ACF≌△ABD，
∴BD=CF，
∵BE⊥CF，
∴∠BEC=∠BEF=90°，
∵∠1+∠BCE=90°，∠2+∠F=90°，
∴∠BCF=∠F，
∴BC=BF，CE=EF=1，
∴BD=CF=2．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等解决问题，属于中考常考题型．