Question

已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=

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AB，
（1）求证：△AED≌△EBC；
（2）请对△ABC添加一个条件：

 

，使得四边形AECD成为矩形，不证明．
（3）请对△ABC添加一个条件：

 

，使得四边形BCDE成为菱形，并证明．

Answer 1

考点：菱形的判定,全等三角形的判定与性质,矩形的判定

专题：

分析：（1）由DC∥AB，且DC=

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AB，E为AB的中点，可判定四边形ADCE是平行四边形，得出AD=EC，AD∥CE，根据两直线平行同位角相等得出∠BEC=∠BAD，再利用SAS即可证得△BEC≌△EAD；
（2）添加一个条件：BC=AC，可使得四边形AECD成为矩形．由CD=BE且CD∥BE，可得四边形BCDE是平行四边形，得出BC=DE，由BC=AC，等量代换得到DE=AC，由（1）可知四边形ADCE是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形AECD是矩形；
（3）添加一个条件：AB=2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．由E为AB的中点，AB=2BC，可得BE=BC，而四边形BCDE是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形BCDE是菱形．

解答：（1）证明：∵DC=

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AB，E为AB的中点，
∴CD=BE=AE．
又∵DC∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD=EC，AD∥CE，
∴∠BEC=∠BAD．
在△BEC和△EAD中，

BE=EA ∠BEC=∠EAD EC=AD

，
∴△BEC≌△EAD（SAS）；

（2）解：添加一个条件：BC=AC，可使得四边形AECD成为矩形；

（3）解：添加一个条件：AB=2BC，可使得四边形BCDE成为菱形．
∵E为AB的中点，
∴AB=2BE，
∵AB=2BC，
∴BE=BC，
∵CD=BE且CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴四边形BCDE是菱形．
故答案为BC=AC；AB=2BC．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形、菱形的判定，平行四边形的判定与性质，主要考查学生的推理能力，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．