Question

3．结合数轴与绝对值的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示3和2两点间的距离是1；
表示-3和2两点间的距离是5；
一般地，数轴上表示数m和n两点间的距离=|m-n|；
（2）如果在数轴上表示数a的点与-2的距离是3，那么a=-5或1；
（3）如果数轴上表示数a的点位于-4和2之间，求|a+4|+|a-2|的值；
（4）当a取何值时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值为多少？请说明理由；
（5）直接回答：当式子|a+9|+|a+1|+|a-5|+|a-7|取最小值时，相应的a取值范围是什么？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）根据两点间的距离公式，可得答案；
（2）根据两点间的距离公式可得|a+2|=3，解方程可得答案；
（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；
（4）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案；
（5）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案．

解答 解：（1）数轴上表示3和2两点间的距离是3-2=1；
表示-3和2两点间的距离是2-（-3）=5；
一般地，数轴上表示数m和n两点间的距离=|m-n|；
（2）依题意有
|a+2|=3，
解得a=-5或1；
（3）∵数轴上表示数a的点位于-4和2之间，
∴|a+4|+|a-2|
=a+4-a+2
=6；
（4）因为|a+5|+|a-4|最小值为4-（-5）=9，|a-1|是非负数
所以当a=1时，
|a+5|+|a-1|+|a-4|
=6+0+3
=9；
（5）|a+9|+|a+1|+|a-5|+|a-7|取最小值时，相应的a取值范围是-1≤x≤5，
最小值是a+9+a+1-a+5-a+7=22．
故答案为：1，5，|m-n|；-5或1．

点评 本题考查了绝对值，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小．