Question

1．已知直角三角形的两条直角边a、b（a≤b）及斜边c均为整数，且其内切圆的半径r=3．则这样的直角三角形有（　　）个．

• A． 0
• B． 1
• C． 3
• D． 无数个

Answer 1

分析 根据三角形内切圆的性质可得出a-3+b-3=c，再由勾股定理得出a²+b²=c²，化简整理即可得出a，b的值，再求得c的对应值．

解答 解：∵三角形内切圆的半径r=3，
∴a-r+b-r=c，
∴a+b-c=2r=6，
∵直角三角形的两条直角边a、b（a≤b）及斜边c均为整数，
∴a²+b²=c²，
∴a²+b²=（a+b-6）²，
∴（a-6）（b-6）=18，
∵a、b、c均为正整数，且a≤b，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{a-6=1}\\{b-6=18}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-6=2}\\{b-6=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-6=3}\\{b-6=6}\end{array}\right.$，
可解出$\left\{\begin{array}{l}{a=7}\\{b=24}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=8}\\{b=15}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴对应的c分别为25，17，15，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故选C．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心，以及非一次不定方程及勾股定理，解答此题的关键是先利用勾股定理把原式化为两个因式积的形式，再根据a，b均为正整数进行解答．