Question

19．如图，在直角坐标平面内有两点A（0，2）、B（-2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形状是 等腰直角三角形；
（2）求△ABC的面积及AB的长；
（3）在y轴上找一点P，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标判断出OA=OB=OC，从而得出结论；
（2）根据点的坐标求出求出BC，OA，再用三角形面积公式即可；
（3）设出点P坐标，根据平面坐标系中，两点间的距离公式表示出BP，AP，再分三种情况计算即可．

解答 解：∵A（0，2）、B（-2，0）、C（2，0）．
∴OB=OC=OA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AO⊥BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形，
（2）∵A（0，2）、B（-2，0）、C（2，0）．
∴BC=4，OA=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC×AO=$\frac{1}{2}$×4×2=4，
∵A（0，2）、B（-2，0），
∴AB=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
（3）设点P（0，m），
∵A（0，2）、B（-2，0），
∴AB=2$\sqrt{2}$，BP=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，AP=|m-2|，
∵△PAB是等腰三角形，
∴①当AB=BP时，
∴2$\sqrt{2}$=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴m=2（舍）或m=-2，
∴P（0，-2），
②当AB=AP时，
∴2$\sqrt{2}$=|m-2|，
∴m=2+2$\sqrt{2}$或m=2-2$\sqrt{2}$，
∴P（0，2-2$\sqrt{2}$）或P（0，2+2$\sqrt{2}$）
③当AP=BP时，
∴|m-2|=$\sqrt{4+{m}^{2}}$，
∴m=0，
∴P（0，0），
∴P（0，-2）或P（0，2-2$\sqrt{2}$）或P（0，2+2$\sqrt{2}$）或P（0，0）．

点评 此题是等腰三角形性质，主要考查了等腰三角形的判定，两点间的距离公式，方程的解法，解本题的关键是分类讨论计算即可．