Question

13．在△ABC中，AD是△ABC的高，若AB=$\sqrt{6}$，tan∠B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且BD=2CD，则BC=3或1．

Answer 1

分析 由tan∠B=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可设AD=$\sqrt{2}$x，则BD=2x，在RT△ABD中根据勾股定理求得x的值，即可得BD、CD的长，分别求出点D在线段AB上和点D在线段AB延长线上时BC的长．

解答 解：∵tan∠B=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴设AD=$\sqrt{2}$x，则BD=2x，
∵AB²=AD²+BD²，
∴（$\sqrt{6}$）²=（$\sqrt{2}$x）²+（2x）²，
解得：x=1或x=-1（舍），
即BD=2，
又∵BD=2CD，
∴CD=1，
当点D在线段AB上时，如图1，

则BC=BD+CD=3；
当点D在线段AB延长线上时，如图2，

则BC=BD-CD=1；
故答案为：3或1．

点评 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角、边边、角角间的关系式解直角三角形的基础，本题需考虑两种情况是关键．