Question

如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD=4，BC=9，求OD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，根据切线的性质由AM切⊙O于点A得OA⊥AD，再根据角平分线定理得到OE=OA，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）过D作DF⊥BC于F，根据切线的性质得到AB⊥AD，AB⊥BC，则得到四边形ABFD为矩形，得到BF=AD=4，所以CF=BC-BF=5，再利用切线长定理得DA=DE=4，CE=CB=9，所以DC=AD+BC=13，在Rt△DCF中，利用勾股定理计算出DF=12，则AB=12，所以OA=6，然后在Rt△OAD中，利用勾股定理可计算出OD．

解答：（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，如图，
∵AM切⊙O于点A，
∴OA⊥AD，
∵DO平分∠ADC，
∴OE=OA，
∵OA为⊙O的半径，
∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：过D作DF⊥BC于F，如图，
∵AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴四边形ABFD为矩形，
∴BF=AD=4，
∴CF=BC-BF=5，
∵DC、AM、BC为圆的切线，
∴DA=DE=4，CE=CB=9，
∴DC=AD+BC=13，
在Rt△DCF中，DF=

DC2-DF2

=12，
∴AB=12，
∴OA=6，
在Rt△OAD中，OD=

OA2+AD2

=

62+42

=2

13

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理．