Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点O为对角线BD的中点，点P从点A出发，沿折线AD-DO-OC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．
（1）求点N落在BD上时t的值；
（2）直接写出点O在正方形PQMN内部时t的取值范围；
（3）当点P在折线AD-DO上运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出直线DN平分△BCD面积时t的值．

Answer 1

考点：相似形综合题,勾股定理,三角形中位线定理,矩形的性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）可证△DPN∽△DQB，从而有

DP

DQ

=

PN

QB

，即可求出t的值．
（2）只需考虑两个临界位置（①MN经过点O，②点P与点O重合）下t的值，就可得到点O在正方形PQMN内部时t的取值范围．
（3）根据正方形PQMN与△ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、图6，然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式．
（4）由于点P在折线AD-DO-OC运动，可分点P在AD上，点P在DO上，点P在OC上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分△BCD面积时t的值．

解答：解：（1）当点N落在BD上时，如图1．
∵四边形PQMN是正方形，
∴PN∥QM，PN=PQ=t．
∴△DPN∽△DQB．
∴

DP

DQ

=

PN

QB

．
∵PN=PQ=PA=t，DP=3-t，QB=AB=4，
∴

3-t

3

=

t

4

．
∴t=

12

7

．
∴当t=

12

7

时，点N落在BD上．

（2）①如图2，
则有QM=QP=t，MB=4-t．
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥DQ．
∵点O是DB的中点，
∴QM=BM．
∴t=4-t．
∴t=2．
②如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
∵AB=4，AD=3，
∴DB=5．
∵点O是DB的中点，
∴DO=

5

2

．
∴1×t=AD+DO=3+

5

2

．
∴t=

11

2

．
∴当点O在正方形PQMN内部时，t的范围是2＜t＜

11

2

．

（3）①当0＜t≤

12

7

时，如图4．
S=S_{正方形PQMN}=PQ²=PA²=t²．
②当

12

7

＜t≤3时，如图5，
∵tan∠ADB=

PG

DP

=

AB

AD

，
∴

PG

3-t

=

4

3

．
∴PG=4-

4

3

t．
∴GN=PN-PG=t-（4-

4

3

t）=

7t

3

-4．
∵tan∠NFG=tan∠ADB=

4

3

，
∴

GN

NF

=

4

3

．
∴NF=

3

4

GN=

3

4

（

7t

3

-4）=

7

4

t-3．
∴S=S_{正方形PQMN}-S_△GNF
=t²-

1

2

×（

7t

3

-4）×（

7

4

t-3）
=-

25

24

t²+7t-6．
③当3＜t≤

11

2

时，如图6，
∵四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形．
∴∠PQM=∠DAB=90°．
∴PQ∥AD．
∴△BQP∽△BAD．
∴

BP

BD

=

BQ

BA

=

PQ

AD

．
∵BP=8-t，BD=5，BA=4，AD=3，
∴

8-t

5

=

BQ

4

=

PQ

3

．
∴BQ=

4(8-t)

5

，PQ=

3(8-t)

5

．
∴QM=PQ=

3(8-t)

5

．
∴BM=BQ-QM=

8-t

5

．
∵tan∠ABD=

FM

BM

=

AD

AB

=

3

4

，
∴FM=

3

4

BM=

3(8-t)

20

．
∴S=S_梯形PQMF=

1

2

（PQ+FM）•QM
=

1

2

[

3(8-t)

5

+

3(8-t)

20

]•

3(8-t)

5

=

9

40

（8-t）²
=

9

40

t²-

18

5

t+

72

5

．
综上所述：当0＜t≤

12

7

时，S=t²．
当

12

7

＜t≤3时，S=-

25

24

t²+7t-6．
当3＜t≤

11

2

时，S=

9

40

t²-

18

5

t+

72

5

．

（4）设直线DN与BC交于点E，
∵直线DN平分△BCD面积，
∴BE=CE=

3

2

．
①点P在AD上，过点E作EH∥PN交AD于点H，如图7，
则有△DPN∽△DHE．
∴

DP

DH

=

PN

EH

．
∵PN=PA=t，DP=3-t，DH=CE=

3

2

，EH=AB=4，
∴

3-t

3 2

=

t

4

．
解得；t=

24

11

．
②点P在DO上，连接OE，如图8，
则有OE=2，OE∥DC∥AB∥PN．
∴△DPN∽△DOE．
∴

DP

DO

=

PN

OE

．
∵DP=t-3，DO=

5

2

，OE=2，
∴PN=

4

5

（t-3）．
∵PQ=

3

5

（8-t），PN=PQ，
∴

4

5

（t-3）=

3

5

（8-t）．
解得：t=

36

7

．
③点P在OC上，设DE与OC交于点S，连接OE，交PQ于点R，如图9，
则有OE=2，OE∥DC．
∴△DSC∽△ESO．
∴

SC

SO

=

DC

OE

=2．
∴SC=2SO．
∵OC=

5

2

，
∴SO=

OC

3

=

5

6

．
∵PN∥AB∥DC∥OE，
∴△SPN∽△SOE．
∴

SP

SO

=

PN

OE

．
∵SP=3+

5

2

+

5

6

-t=

19

3

-t，SO=

5

6

，OE=2，
∴PN=

76

5

-

12t

5

．
∵PR∥MN∥BC，
∴△ORP∽△OEC．
∴

OP

OC

=

PR

EC

．
∵OP=t-

11

2

，OC=

5

2

，EC=

3

2

，
∴PR=

3t

5

-

33

10

．
∵QR=BE=

3

2

，
∴PQ=PR+QR=

3t

5

-

9

5

．
∵PN=PQ，
∴

76

5

-

12t

5

=

3t

5

-

9

5

．
解得：t=

17

3

．
综上所述：当直线DN平分△BCD面积时，t的值为

24

11

、

36

7

、

17

3

．

点评：本题考查了矩形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，考查了用割补法求五边形的面积，考查了用临界值法求t的取值范围，考查了分类讨论的数学思想，综合性较强，有一定的难度．