Question

10．已知如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°，AC=CP．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）如图，连接OC；运用已知条件证明∠OCP=90°，即可解决问题．
（2）分别求出△OCP、扇形OCB的面积，即可解决问题．

解答 解：（1）如图，连接OC；
∵OA=OC，AC=CP，
∴∠A=∠OCA=30°，∠P=∠A=30°，
∴∠POC=∠A+∠OCA=60°，
∴∠OCP=180°-60°-30°=90°，
∴CP是⊙O的切线．

（2）∵AB=4$\sqrt{3}$，
∴OC=OB=2$\sqrt{3}$，
∴PC=$\frac{OC}{tan30°}$=6
∴S_△OCP=$\frac{1}{2}$OC•PC
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$•6=6$\sqrt{3}$，
S_扇形OBC=$\frac{60π•（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$=2π，
∴图中阴影部分的面积=6$\sqrt{3}$-2π．

点评 该题主要考查了切线的判定、三角形的面积公式、扇形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线；解题的关键是准确选择切线的判定方法；灵活运用扇形的面积公式等几何知识点来分析、判断、解答．