题目内容

6．两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成图1．
探索发现：试用不同的方法计算图1的面积，你能发现a、b、c间有什么数量关系？
尝试应用：如图2，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，三边分别为a、b、c，
①若b-a=2，c=10，求此三角形的周长及面积．
②若b=12，a、c均为整数，试求出所有满足条件的a、c的值．

分析 探索发现：用不同的方法计算图1的面积，可以发现a、b、c间有什么数量关系；
尝试应用：①由已知条件和探索发现的规律，结合三角形的周长及面积的定义求解；
②根据题意得到方程组$\left\{\begin{array}{l}{c+a=144}\\{c-a=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=72}\\{c-a=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=48}\\{c-a=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=36}\\{c-a=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=24}\\{c-a=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=18}\\{c-a=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{c+a=16}\\{c-a=9}\end{array}\right.$，解方程组即可求解．

解答 解：探索发现：
图1的面积=$\frac{1}{2}$ab×2+$\frac{1}{2}$c2=ab+$\frac{1}{2}$c2；
图1的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$（a+b）2；
ab+$\frac{1}{2}$c2=$\frac{1}{2}$（a+b）2，
ab+$\frac{1}{2}$c2=$\frac{1}{2}$（a2+2ab+b2），
$\frac{1}{2}$c2=$\frac{1}{2}$a2+$\frac{1}{2}$b2，
a2+b2=c2；
尝试应用：
①依题意有$\left\{\begin{array}{l}{b-a=2}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=1{0}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{ab=48}\\{a+b=14}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{ab=48}\\{a+b=-14}\end{array}\right.$（舍去）．
故此三角形的周长是14+10=24，面积是48÷2=24；
②依题意有
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=144}\\{c-a=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=72.5}\\{a=71.5}\end{array}\right.$（舍去）；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=72}\\{c-a=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=37}\\{a=35}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=48}\\{c-a=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=25.5}\\{a=22.5}\end{array}\right.$（舍去）；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=36}\\{c-a=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=20}\\{a=16}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=24}\\{c-a=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=15}\\{a=9}\end{array}\right.$；
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=18}\\{c-a=8}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=13}\\{a=5}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{l}{c+a=16}\\{c-a=9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=12.5}\\{a=3.5}\end{array}\right.$（舍去）．
故所有满足条件的a、c的值为a=35，c=37；a=16，c=20； a=5，c=13；a=9，c=15．

点评 考查了勾股定理的证明，三角形的周长及面积，其中难点是第（3）问，关键是得到关于a，c的方程组．

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