Question

15．△ABC中，∠ACB＜90°，以AB为一边作等边△ABD，且点D与点C在直线AB同侧，平面内有一点E与点D分别在直线AB两侧，且BE=BC，∠ABE=∠DBC，连接CD、AE，AC=5，BC=3．
（1）求证：CD=AE；
（2）点E关于直线AB的对称点为点F，判断△BFC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，当线段CD最短时，请直接写出四边形AEBF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据SAS判定△ABE≌△DBC，即可得出CD=AE；
（2）根据轴对称的性质以及全等三角形的性质，即可得出BF=BC，∠CBF=60°，进而判定△BCF是等边三角形；
（3）根据AF+FC≥AC，即可得到AF+3≥5，即AF≥2，因而得到AF的最小值为2，即CD的最小值为2，此时AF+FC=AC，即点F在AC上，再过B作BG⊥AC于G，则Rt△BFG中，∠FBG=30°，求得△ABF的面积，即可得到四边形AEBF的面积．

解答 解：（1）如图，∵△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD=AE；

（2）△BFC是等边三角形，
理由：如图，∵点E关于直线AB的对称点为点F，
∴AB垂直平分EF，
∴BF=BE，∠ABE=∠ABF，
又∵BC=BE，∠ABE=∠DBC，
∴BF=BC，∠ABF=DBC，
∵∠ABD=∠ABF+∠DBF=60°，
∴∠DBC+∠DBF=60°，
即∠CBF=60°，
∴△BCF是等边三角形；

（3）∵点E关于直线AB的对称点为点F，△ABE≌△DBC，
∴AF=AE，AE=DC，
∴AF=CD，
由（2）可得，等边三角形BCF中，FC=BC=3，
∵AF+FC≥AC，
∴AF+3≥5，即AF≥2，
∴AF的最小值为2，即CD的最小值为2，
此时AF+FC=AC，即点F在AC上，
如图所示，过B作BG⊥AC于G，则Rt△BFG中，∠FBG=30°，
∴FG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\sqrt{3}$FG=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴△ABF的面积=$\frac{1}{2}$AF×BG=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{2}\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}\sqrt{3}$，
∴四边形AEBF的面积=2×△ABF的面积=3$\sqrt{3}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及含30°角的直角三角形的性质综合应用，解决问题的关键是画出图形，根据两点之间，线段最短，得到AF的最小值为2，即CD的最小值为2．