Question

1．如图，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，连接CM，作线段CM的垂直平分线，分别交边CB和CA的延长线于点D、E，若∠C=90°，AB=20，tanB=$\frac{2}{5}$，则DE=$\frac{29}{2}$．

Answer 1

分析 设AC=2k，BC=5k，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$k=20，得到BC=$\frac{100}{\sqrt{29}}$，连接DM，根据直角三角形的性质得到AM=CM=BM$\frac{1}{2}$AB=10，由DE是线段CM的垂直平分线，得到CD=DM，根据相似三角形的性质得到CD=$\sqrt{29}$，根据勾股定理得到DN=$\sqrt{C{D}^{2}-C{N}^{2}}$=2，于是得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，tanB=$\frac{2}{5}$，
设AC=2k，BC=5k，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{29}$k=20，
∴k=$\frac{20}{\sqrt{29}}$，
∴BC=$\frac{100}{\sqrt{29}}$，
连接DM，
∵∠C=90°，点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴AM=CM=BM$\frac{1}{2}$AB=10，
∴∠MCB=∠B，
∵DE是线段CM的垂直平分线，
∴CD=DM，
∴∠DCM=∠DMC，
∴△CDM∽△CMB，
∴$\frac{CM}{BC}$=$\frac{CD}{CM}$，
∴CD=$\sqrt{29}$，
∵DE垂直平分CM，
∴∠E+∠ECN=∠ECN+∠NCD=90°，
∴∠E=∠NCD，
∴△CDE∽△CDN，
∴$\frac{CD}{DE}$=$\frac{DN}{CD}$，
∵DN=$\sqrt{C{D}^{2}-C{N}^{2}}$=2，
∴DE=$\frac{C{D}^{2}}{DN}$=$\frac{29}{2}$．
故答案为：$\frac{29}{2}$．

点评 本题考查了解直角三角形，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．