Question

19．如图，AA₁、BB₁、CC₁相交于O，AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，求证：
（1）AC∥A₁C₁，
（2）△ABC∽△A₁B₁C₁．

Answer 1

分析 （1）由AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁得$\frac{AO}{O{A}_{1}}$=$\frac{CO}{O{C}_{1}}$，再加上对顶角相等，可证明△AOC∽△A₁OC₁，得∠CAO=∠OA₁C₁，根据内错角相等，两直线平行可得结论；
（2）根据AB∥A₁B₁，AC∥A₁C₁，得$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$，再由等量加等量和相等得∠BAC=∠B₁A₁C₁，所以△ABC∽△A₁B₁C₁．

解答 证明：（1）∵AB∥A₁B₁，
∴$\frac{AO}{O{A}_{1}}$=$\frac{BO}{O{B}_{1}}$，
∵BC∥B₁C₁，
∴$\frac{BO}{O{B}_{1}}$=$\frac{CO}{O{C}_{1}}$，
∴$\frac{AO}{O{A}_{1}}$=$\frac{CO}{O{C}_{1}}$，
∵∠AOC=∠A₁OC₁，
∴△AOC∽△A₁OC₁，
∴∠CAO=∠OA₁C₁，
∴AC∥A₁C₁；
（2）∵AB∥A₁B₁，
∴$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{AO}{O{A}_{1}}$，∠BAO=∠OA₁B₁，
∵AC∥A₁C₁，
∴$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{AO}{O{A}_{1}}$，∠CAO=∠OA₁C₁，
∴$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{AC}{{A}_{1}{C}_{1}}$，∠BAC=∠B₁A₁C₁，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，这在相似三角形的证明题中经常运用；同时要知道相似三角形的一般判定方法：①平行线法，②三边法，③两边及其夹角法，④两角法．