Question

17．如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：OE∥AB；
（2）若EH=$\frac{1}{2}$CD，求证：AB是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，若BE=4BH，求$\frac{BH}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰梯形的性质、等腰三角形的性质可以判断出∠B=∠OEC，然后由同位角相等得出OE∥AB；
（2）作辅助线（过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G）构建平行四边形OEHF，然后由“平行四边形的对边相等的性质”、由已知条件求得OF=EH=$\frac{1}{2}$CD，即OF是⊙O的半径；最后根据切线的判定得出结论；
（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，
∴AB=CD，∠B=∠C；
又∵CD是直径，点O是腰CD的中点，
∴点O是圆心，
∴OE=OC，
∴∠OEC=∠C（等边对等角），
∴∠OEC=∠B（等量代换），
∴OE∥AB（同位角相等，两直线平行）；

（2）证明：过点O作OF⊥AB于点F．
∵由（1）知，OE∥AB，
∴OE∥FH；
又∵EH⊥AB，
∴FO∥HE，
∴四边形OEHF是平行四边形（有两组对边平行的四边形是平行四边形），
∴OF=EH（平行四边形的对边相等）；
∵EH=$\frac{1}{2}$CD，
∴OF=$\frac{1}{2}$CD，即OF是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；

（3）解：连接DE．
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°（直径所对的圆周角是直角），则∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴$\frac{BH}{CE}$=$\frac{BE}{CD}$，
∵BE=4BH，
∴设BH=k，则BE=4k，EH=$\sqrt{B{E}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{15}$k；
∴CD=2EH=2$\sqrt{15}$k
∴$\frac{BH}{CE}$=$\frac{BE}{CD}$=$\frac{4k}{2\sqrt{15}k}$=$\frac{2\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．