Question

10．如图，直线y=-x+5与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于点C，△BOC的面积为$\frac{5}{2}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将直线y=-x+5向下平移1个单位，说明所得直线与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的交点情况．

Answer 1

分析 （1）令直线y=-x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及△BOC的面积是$\frac{5}{2}$即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，可得反比例函数的解析式；
（2）根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论．

解答 解：令直线y=-x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．

令直线y=-x+5中y=0，则0=-x+5，解得：x=5，
即OC=5．
∵△BOC的面积是$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$×5•BE=$\frac{5}{2}$，
解得：BE=1．
结合题意可知点B的纵坐标为1，
当y=1时，有1=-x+5，
解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，1），
∴k=4×1=4，
即反比例函数的解析式为y=$\frac{4}{x}$；

（2）将直线y=-x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y=-x+5-1=-x+4，
将y=-x+4代入到y=$\frac{4}{x}$中，得：-x+4=$\frac{4}{x}$，
整理得：x²-4x+4=0，
∵△=（-4）²-4×4=0，
∴平移后的直线与双曲线y=$\frac{4}{x}$只有一个交点．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．