Question

2．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接BE交AC于G，连接PC并延长AB的延长线交于点F，BF=3，CF=4．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求EG的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△OPA≌△OPC，即可推出∠OCP=∠OAP=90°解决问题．
（2）如图2中，连接AE，设⊙O的半径为r，设PA=PC=a，利用勾股定理求出r、a．求出OP后，根据cos∠AOD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OA}{OP}$，求出OD，DE，AD，再根据tan∠EAD=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{DE}{AD}$，即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC．

∴PA是⊙O切线，
∴PA⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∵OP⊥AC，
∴AD=DC，
∴PA=PC，
∵OA=OC，OP=OP，
∴△OPA≌△OPC，
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∴PC是⊙O的切线．

（2）如图2中，连接AE，设⊙O的半径为r，设PA=PC=a，

在Rt△OCF中，∵OC²+CF²=OF²，
∴r²+4²=（r+3）²，
∴r=$\frac{7}{6}$，
在Rt△APF中，∵PA²+AF²=PF²，
∴a²+（$\frac{16}{3}$）²=（a+4）²，
∴a=$\frac{14}{9}$，
∴在Rt△APO中，OP=$\sqrt{A{P}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{14}{9}）^{2}+（\frac{7}{6}）^{2}}$=$\frac{35}{18}$，
∵cos∠AOD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OA}{OP}$，
∴$\frac{OD}{\frac{7}{6}}$=$\frac{\frac{7}{6}}{\frac{35}{18}}$，
∴OD=$\frac{7}{10}$，DE=OE-OD=$\frac{7}{15}$，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{14}{15}$，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{15}$，
∵tan∠EAD=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{DE}{AD}$，
∴$\frac{EG}{\frac{7\sqrt{5}}{15}}$=$\frac{\frac{7}{15}}{\frac{14}{15}}$，
∴EG=$\frac{7\sqrt{5}}{30}$．

点评 本题考查切线的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，题目比较难，计算量比较大，属于中考压轴题．