Question

11．如图，AB是⊙O的一条弦，C，D是⊙O上的两个动点，且在AB弦的异侧，连接CD．
（1）已知AC=BC，AB平分∠CBD，求证：AB=CD；
（2）已知∠ADB=45°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）证$\widehat{AC}=\widehat{BC}$=$\widehat{AD}$，即可得$\widehat{DAC}=\widehat{ACB}$，从而得证；
（2）由S_{四边形ABCD}=S_△ADB+S_△ACB，设△ADB和△ACB的公共边AB上的高为h₁、h₂，则h₁+h₂的最大值为⊙O的直径，即当点C在劣弧AB的中点、点D在优弧AB的中点时，四边形ABCD的面积最大，根据∠ADB=45°知∠AOB=90°，根据AO=BO=1得AB=$\sqrt{2}$，由S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AB（h₁+h₂）可得答案．

解答 解：（1）∵AC=BC，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∵AB平分∠CBD，
∴∠CBA=∠DBA，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，
∴$\widehat{DAC}=\widehat{ACB}$，
∴AB=CD；

（2）∵S_{四边形ABCD}=S_△ADB+S_△ACB，
设△ADB和△ACB的公共边AB上的高为h₁、h₂，则h₁+h₂的最大值为⊙O的直径，
即当点C在劣弧AB的中点、点D在优弧AB的中点时，四边形ABCD的面积最大，
如图，连接OA、OB，

∵∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AO=BO=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$AB（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2=$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查圆周角定理、角平分线的性质、勾股定理等知识点，由△ADB和△ACB的公共边AB上的高为h₁、h₂，则h₁+h₂的最大值为⊙O的直径时，四边形ABCD的面积最大是解题的关键．