Question

16．进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为n，即可称n进制，现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0～9进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用n（n≤10）进制表示的数，通常使用n个阿拉伯数字0～（n-1）进行记数，特点是逢n进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：
例如：五进制数（234）₅=2×5²+3×5+4=69，记作（234）₅=69，
七进制数（136）₇=1×7²+3×7+6=76，记作（136）₇=76．
（1）请将以下两个数转化为十进制：（331）₅=91，（46）₇=34
（2）若一个正数可以用七进制表示为（$\overline{abc}$）₇，也可以用五进制表示为（$\overline{cba}$）₅，请求出这个数并用十进制表示．

Answer 1

分析 （1）根据进制的计算规则列式计算即可得；
（2）由题意得出7²a+7b+c=5²c+5b+a，即24a+b=12c，结合1≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9，且a、b、c均为整数得出a、b、c的值，表示成十进制即可．

解答 解：（1）根据题意知，（331）₅=3×5²+3×5+1=91，（46）₇=4×7+6=34，
故答案为：91，34；

（2）根据题意得：7²a+7b+c=5²c+5b+a，
整理得24a+b=12c，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，1≤c≤9，且a、b、c均为整数，
∴a=1、b=0、c=2，此数用十进制表示为102；
a=2、b=0、c=4，此数用十进制表示为204；
a=3、b=0、c=6时，此数用十进制表示为306；
a=4、b=0、c=8时，此数用十进制表示为408．

点评 本题主要考查有理数的混合运算和进制计算规则，根据题意弄清进制的计算规则是解题的根本，由题意列出a、b、c的等式结合其范围得出具体数值是解题的关键．