题目内容

9．在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c与x轴交于点A（-4，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C．
（1）如图l，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，连接PC、PA，PA交y轴于点F，设点P的横坐标为t，△CPF的面积为S．求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BC，过点P作PD∥y轴变BC于点D，点H为AF中点，且点N（0，1），连接NH、BH，将∠NHB绕点H逆时针旋转，使角的一条边H落在射线HF上，另一条边HN变抛物线于点Q，当BH=BD时，求点Q坐标．

分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c的解析式，得到关于b、c的方程组，然后解得b、c的值即可；
（2）过点P作PR⊥y轴，交y轴于点R，过点P作PL⊥AB于点L．设点P（t，-$\frac{1}{2}$t2+t+12），则AL=t+4，PL=-$\frac{1}{2}$（t+4）（t-6），可求得tan∠PAL=3-$\frac{1}{2}$t，从而得到=12-2t，最后依据S△CPF=$\frac{1}{2}$CF•PR求解即可；
（3）延长PD交x轴于点L，取OA的中点K，连接HK，过点H作HG⊥y轴于点G，过点Q作QM⊥HG于点M．首先证明Rt△BHK≌Rt△DBL，从而得到BK=DL=8，然后求得直线BC的解析式，设点D（t，-2t+12），然后由DL=8可求得t的值，从而得到点P和点H的坐标，然后再求得$\frac{QM}{HM}$=$\frac{2}{3}$，设点Q（m，-$\frac{1}{2}$m2+m+12），则QM=-$\frac{1}{2}$m2+m+8，HM=m+2，最后再依据$\frac{QM}{HM}$=$\frac{2}{3}$列方程求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c过点A（-4，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×16-4b+c=0}\\{-\frac{1}{2}×36+6b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=12}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+x+12．

（2）如图1所示：过点P作PR⊥y轴，交y轴于点R，过点P作PL⊥AB于点L．

点P（t，-$\frac{1}{2}$t2+t+12），则AL=t+4，PL=-$\frac{1}{2}$t2+t+12=-$\frac{1}{2}$（t+4）（t-6）．
∴tan∠PAL=$\frac{PL}{PA}$=3-$\frac{1}{2}$t．
在Rt△FAO中，tan∠FAO=$\frac{OF}{OA}$=$\frac{OF}{4}$=3-$\frac{1}{2}$t．
∴OF=12-2t．
∴CF=CO-OF=12-（12-2t）=2t，
∴S△CPF=$\frac{1}{2}$CF•PR=$\frac{1}{2}$×2t•t=t2．

（3）延长PD交x轴于点L，取OA的中点K，连接HK，过点H作HG⊥y轴于点G，过点Q作QM⊥HG于点M．

∵OF=12-2t，点H为AF的中点，HK⊥OA，
∴HK=$\frac{1}{2}$OF=6-t=BL．
∵在Rt△BHK和Rt△DBL中，HK=BL，BH=BD，
∴Rt△BHK≌Rt△DBL
∴BK=DL=8．
直线BC的解析式为y=-2x+12，
∴点D（t，-2t+12）．
∵DL=12-2t=8，
∴t=2．
∴点P（2，12），点H（-2，4）．
∴tan∠AHK=tan∠HBK=$\frac{1}{2}$，
∴∠AHK=∠HBK，
∴∠AHB=90°．
∵∠NHB=∠PHQ，
∴∠NHQ=90°，
∴∠HNG=∠QHM．
∵点N（0，1），HG=2，
∴GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM=$\frac{2}{3}$，$\frac{QM}{HM}$=$\frac{2}{3}$．
设点Q（m，-$\frac{1}{2}$m2+m+12），QM=-$\frac{1}{2}$m2+m+12-4=-$\frac{1}{2}$m2+m+8，HM=m+2．
∴$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+8}{m+2}$=$\frac{2}{3}$，解得：m1=-$\frac{10}{3}$（舍去），m2=4，
∴点Q（4，8）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，依据$\frac{QM}{HM}$=$\frac{2}{3}$列出关于m的方程是解答本题的关键．

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