Question

14．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=4，CB=3.$\widehat{GH}$与CA延长线、AB、CB延长线相切，切点分别为E、D、F，则该弧所在圆的半径为6．

Answer 1

分析 根据勾股定理求出AB，连接OE、OF、得出正方形CEOF，求出CE=CF=r，根据切线长定理得出AD=AE，BD=BF，即可得出方程，求出方程的解即可．

解答 解：
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=，BC=3，由勾股定理得：AB=5，
设弧所在的圆的圆心为O，圆的半径为r，连接OE、OF，如图，
∵.$\widehat{GH}$与CA延长线、AB、CB延长线相切，切点分别为E、D、F，
∴AE=AD，BF=BD，∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°，OE=OF=r，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CE=CF=OE=OF=r，
则AE=AD=r-4，BF=DB=r-3，
∴r-3+r-4=5，
解得：r=6，
故答案为：6．

点评 本题考查了切线长定理，切线的性质，勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．