题目内容

如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm．动点P从点A开始在线段AB上沿A→B→A的路径以每秒2.5cm的速度运动，同时动点Q从点B开始在线段BC上以每秒1cm的速度向点C运动，设点P，Q运动的时间为t秒（0＜t＜8）．
（1）求证：∠C=90°；
（2）求当BQ的长为何值时，以P，Q，B为顶点的三角形与△ABC相似．
考点：相似三角形的判定,勾股定理的逆定理
专题：动点型
分析：（1）根据BC2+AC2=82+62=100=102=AB2，得出△ABC是直角三角形进而得出答案；
（2）分别根据当0＜t≤4时，①当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC；
当4＜t＜8时，③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC，分别求出即可．
解答：（1）证明：在△ABC中，
∵BC2+AC2=82+62=100=102=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠C=90°；

（2）解：（ⅰ）当0＜t≤4时，BP=（10-2.5t） cm，BQ=t cm．
①如图1，当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴
BQ
BC
=
BP
AB
．
∴
t
8
=
10-2.5t
10
．
∴解得：t=
8
3
． 
②当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴
BQ
AB
=
BP
BC
．
∴
t
10
=
10-2.5t
8
．
∴解得：t=
100
33
，即BQ=
100
33
． 
（ⅱ）当4＜t＜8时，BP=（2.5t-10）cm，BQ=t cm．
③当PQ⊥AB时，△QBP∽△ABC．
∴
BQ
AB
=
BP
BC
．
∴
t
10
=
2.5t-10
8
．
∴解得：t=
100
17
，即BQ=
100
17
．
④当PQ∥AC时，△PBQ∽△ABC．
∴
BQ
BC
=
BP
AB
．
∴
t
8
=
2.5t-10
10
．解得t=8，即BQ=8．
此时，不符合题意舍去．
综上，所求BQ的长为
8
3
，
100
33
，
100
17
．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想的应用，根据已知得出P，Q不同位置进而得出相似三角形是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
已知Rt△ABC三个顶点均在函数y=x2上，斜边与x轴平行，则顶点到斜边上高的取值范围为（　　）
A、h=1B、0＜h＜1
C、1＜h≤2D、h＞2
如图是一副三角板拼成的四边形，含45°角的那一块的斜边恰好等于另一块60°角的对边，试比较这两块三角板面积的大小，并说明理由．
如图，P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D．求证：PE+PF=AD．
如图，图1，图2，图3分别表示甲乙丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向），其中E为AB的中点，AH＞HB，判断三人行进路线长度的大小关系为（　　） 
A、甲＜乙＜丙
B、甲=乙=丙
C、丙＜乙＜甲
D、乙＜丙＜甲
如图，学校位于高速路AB的一侧（AB成一直线），点A、点B为高速路上距学校直线距离最近的2个隧道出入口，点C、点D为学校的两幢教学楼．经测量，∠ACB=90°，∠ADB＞90°，AC=600m，AB=1000m，D到高速路的最短直线距离DE=400m．
（1）求教学楼C到隧道洞口点B的直线距离．
（2）一辆重载汽车经过该高速路段时的速度为70km/h，该汽车经过时噪音影响的最远范围为距离汽车500m，分别计算说明教学楼C和教学楼D是否会受到该汽车噪音的影响．如果受到影响，受到影响的时间分别是多少？（结果精确到1秒．）
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两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图．
（2）若∠1=2∠2，∠2=2∠3，求∠1，∠2的度数．
如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD交BC于点E，求证：CD=
1
2
BE．

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