Question

如图，P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D．求证：PE+PF=AD．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：根据已知，过P作PG⊥BD于G，可得矩形PGDF，所以PF=GD①，再由矩形PGDF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，则△BPE≌△PBG，所以得PE=BG②，①+②得出PE+PF=BD．

解答：证明：过P作PG⊥BD于G，如图所示：
∵BD⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥DF，GD∥PF，
∴四边形PGDF是平行四边形；
又∵∠GDF=90°，
∴四边形PGDF是矩形，
∴PF=GD ①，
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠BPG=∠ABC，
在△BPE与△PBG中，

∠PEB=∠BGP   ∠BPG=∠ABC   BP=PB

∴△BPE≌△PBG（AAS）
∴PE=BG ②，
①+②：PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD．

点评：此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形PGDF，再证△BPE≌△PBG．