Question

如图，学校位于高速路AB的一侧（AB成一直线），点A、点B为高速路上距学校直线距离最近的2个隧道出入口，点C、点D为学校的两幢教学楼．经测量，∠ACB=90°，∠ADB＞90°，AC=600m，AB=1000m，D到高速路的最短直线距离DE=400m．
（1）求教学楼C到隧道洞口点B的直线距离．
（2）一辆重载汽车经过该高速路段时的速度为70km/h，该汽车经过时噪音影响的最远范围为距离汽车500m，分别计算说明教学楼C和教学楼D是否会受到该汽车噪音的影响．如果受到影响，受到影响的时间分别是多少？（结果精确到1秒．）
（3）教学楼C和教学楼D分别到隧道口点A、点B直线距离的平方和谁大谁小，试计算比较说明．（即比较图中AC²+BC²与AD²+BD²的大小．）

Answer 1

考点：勾股定理的应用

专题：

分析：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理，得到BC的长；
（2）①如图2，作CF⊥AB于F，由面积法求得CF=480m②如图3，根据勾股定理，求出GH，除以速度即可解答．
（3）①根据勾股定理，得AC²+BC²=AB²．
②过点B作BK⊥AD，交AD的延长线于点K．得BK²=BD²-DK²，BK²+AK²=AB²．（AD+DK）²+BK²=AB²．从而得到AD²+BD²＜AB²．

解答：解：（1）如图1，

在Rt△ABC中，∠C=90°，
据勾股定理，得BC²=AB²-AC²=1000²-600²=800²．
∴BC=800（m）．
即：教学楼C到隧道洞口点B的直线距离为800m（2）①如图2，作CF⊥AB于F，

由面积法求得CF=480m．
因为CF=480m＜500m，DE=400m＜500m，
∴教学楼C和教学楼D均会受到该汽车噪音的影响．
②如图3，

设该汽车行至点H时教学楼C开始受到噪音影响，行至点G时受影响结束，则CH=500m，
又∵CF=480m，
根据勾股定理，得FH=140m，GH=2F，
280m=0.28km．
0.28÷70×3600≈14 （s）．
即：教学楼C 受到该汽车噪音影响的时间约为14s．
设该汽车行至点Q时教学楼D开始受到噪音影响，行至点P时受影响结束，则DQ=500m，
又DE=400m，据勾股定理，得EQ=300m，PQ=2EQ
600m=0.6km．
0.6÷70×3600≈31（s）
即教学楼D受到该汽车噪音影响的时间约为31s．
（3）AD²+BD²＜AC²+BC²，说理如下：如图4，

①根据勾股定理，得AC²+BC²=AB²．
②过点B作BK⊥AD，交AD的延长线于点K．
据勾股定理，得BK²=BD²-DK²，BK²+AK²=AB²．
∴（AD+DK）²+BK²=AB²．
即：AD²+DK²+2AD•DK+BD²-DK²=AB²．
∴AD²+2AD•DK+BD²=AB²．
∵AD＞0，DK＞0，
∴2AD•DK＞0
∴AD²+BD²＜AB²．
综合①②，得AD²+BD²＜AC²+BC²．

点评：本题考查了勾股定理的应用，熟悉分类讨论，熟悉勾股定理，从实际问题中找到直角三角形是解题的关键．