Question

1．已知抛物线y₁=x²+bx+c的顶点坐标为（-1，1），直线1的解析式为y₂=2mx+3m²+4nm+4n²，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求b、c的值；
（2）若函数y₁+y₂的图象与x轴始终有公共点，求直线l的解析式；
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB为等腰角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用顶点坐标公式，待定系数法列出方程组即可解决问题．
（2）根据△≥0，以及非负数的性质即可解决问题．
（3）首先求出A、B坐标，分三种情形讨论即可①当BA=BP时，②当AB=AP时，③当PA=PB时．

解答 解：（1）∵抛物线y₁=x²+bx+c的顶点坐标为（-1，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1=1-b+c}\\{-\frac{b}{2}=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴b的值为2，c的值为2．

（2）y₁+y₂=x²+2x+2+2mx+3m²+4nm+4n²=x²+（2+2m）x+3m²+4nm+4n²+2，
∵函数y₁+y₂的图象与x轴始终有公共点，
∴△=（2+2m）²-4×1×（3m²+4nm+4n²+2）≥0，即-4（m-1）²-4（m+2n）²≥0．
∵（m-1）²≥0，（m+2n）²≥0，
∴m=1，n=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l的解析式为y=2x+2．

（3）如图，A（-1，0），B（0，2）．AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，对称轴x=-1，

①当BA=BP时，可得P₁（-1，4），
②当AB=AP时，可得P₂（-1，$\sqrt{5}$），P₃（-1，-$\sqrt{5}$），
③当PA=PB时，可得P₄（-1，2）．
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，点P坐标为（-1，4）或（-1，$\sqrt{5}$）或（-1，-$\sqrt{5}$）或（-1，2）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、顶点坐标公式、抛物线与x轴交点问题等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，属于中考常考题型．