题目内容
7．
如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由BC出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，设运动时间为t秒（0＜t＜8）（1）当t为何值时，DM∥OA？
（2）连接ME，在点M、N重合之前的运动过程中，五边形DMECB的面积是否发生变化？若不变，请求出它的值；若发生变化，请说明理由．
（3）当t为何值时，△DMB为等腰三角形．
分析 （1）由DM∥OA，得$\frac{DB}{BA}$=$\frac{BM}{OB}$，列出方程即可解决问题．
（2）易求得OB=OC=10，即可知BM=OE=10-t，而BD=OM=t，且∠DBM=∠MOE，即可证得△BDM≌△OME，因此五边形的面积可转化为△OBC的面积，因此五边形的面积是定值，以OC为底、OA为高，即可求得△OCB的面积，也就是这个定值的大小．
（3）分三种情形①BD=BM，②DM=DB，③MD=BM讨论即可．
解答 解：（1）在Rt△ABO中，∵OA=6，AB=8，
∴BO=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵DM∥OA，
∴$\frac{DB}{BA}$=$\frac{BM}{OB}$，
∴$\frac{t}{8}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{9}$，
∴t=$\frac{40}{9}$秒时，DM∥OA．
（2）∵AB∥OC，
∴∠DBM=∠MOE
∵BD=OM=t，BM=EO=10-t，
∴在△BDM和△OME中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=OM}\\{∠DBM=∠MOE}\\{BM=OE}\end{array}\right.$
∴△BDM≌△OME；
从而五边形MECBD的面积等于三角形OBC的面积，因此它是一个定值，
SMECBD=S△OCB=$\frac{1}{2}$×10×6=30．
（3）①当BD=BM时，t=10-t，
解得t=5．
②当DM=DB时，如图3中，作DG⊥OB于G，
∵DM=DB，DG⊥BM，
∴MG=BG=$\frac{1}{2}$（10-t），
由cos∠DBG=$\frac{BG}{BD}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}（10-t）}{t}$=$\frac{4}{5}$，
解得t=$\frac{50}{13}$．
③当DM=BM时，如图3中，作MG⊥BD于G．
则有cos∠MBG=$\frac{BG}{BM}$=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}t}{10-t}$=$\frac{4}{5}$，
∴t=$\frac{80}{13}$，
综上所述当t=5或$\frac{50}{13}$或$\frac{80}{13}$秒时，△BDM是等腰三角形．
点评 此题考查直角梯形的性质、全等三角形的判定和性质、图形面积的求法、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．
浙大优学小学年级衔接捷径浙江大学出版社系列答案
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
阅读下列材料，然后回答问题．
如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=-x+b交折线OAB于点E．