题目内容
9．在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2-5x+2=0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．
（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？
分析 （1）根据“第四步”的操作方法作出点D即可；
（2）过点B作BD⊥x轴于点D，根据△AOC∽△CDB，可得$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OC}{BD}$，进而得出$\frac{1}{5-m}$=$\frac{m}{2}$，即m2-5m+2=0，据此可得m是方程x2-5x+2=0的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标；
（4）先设方程的根为x，根据三角形相似可得$\frac{{n}_{1}}{x-{m}_{1}}$=$\frac{{m}_{2}-x}{{n}_{2}}$，进而得到x2-（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0，再根据ax2+bx+c=0，可得x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，最后比较系数可得m1，n1，m2，n2与a，b，c之间的关系．
解答 解：（1）如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，
根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，
∴$\frac{AO}{CD}$=$\frac{OC}{BD}$，
∴$\frac{1}{5-m}$=$\frac{m}{2}$，
∴m（5-m）=2，
∴m2-5m+2=0，
∴m是方程x2-5x+2=0的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化为
x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-$\frac{b}{a}$，$\frac{c}{a}$）或A（0，$\frac{1}{a}$），B（-$\frac{b}{a}$，c）等；
（4）如图，P（m1，n1），Q（m2，n2），
设方程的根为x，根据三角形相似可得$\frac{{n}_{1}}{x-{m}_{1}}$=$\frac{{m}_{2}-x}{{n}_{2}}$，
上式可化为x2-（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0，
又∵ax2+bx+c=0，即x2+$\frac{b}{a}$x+$\frac{c}{a}$=0，
∴比较系数可得m1+m2=-$\frac{b}{a}$，
m1m2+n1n2=$\frac{c}{a}$．
点评 本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积式．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案
将两个等腰Rt△ADE，Rt△ABC（其中∠DAE=∠ABC=90°，AB=BC，AD=AE）如图放置在一起，点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE=15°，下列结论：
如图，已知△ABC，求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
如图，直线y=k1x（x≥0）与双曲线y=$\frac{k_2}{x}$（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
如图，在?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于点O，求证：OE=OF．