Question

18．如图，直线y=k₁x（x≥0）与双曲线y=$\frac{k_2}{x}$（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．
（1）求k₁与k₂的值；
（2）求直线PC的表达式；
（3）直接写出线段AB扫过的面积．

Answer 1

分析 （1）把点P（2，4）代入直线y=k₁x，把点P（2，4）代入双曲线y=$\frac{k_2}{x}$，可得k₁与k₂的值；
（2）根据平移的性质，求得C（6，$\frac{4}{3}$），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；
（3）延长A'C交x轴于D，过B'作B'E⊥y轴于E，根据△AOB≌△A'PB'，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积，据此可得线段AB扫过的面积．

解答 解：（1）把点P（2，4）代入直线y=k₁x，可得4=2k₁，
∴k₁=2，
把点P（2，4）代入双曲线y=$\frac{k_2}{x}$，可得k₂=2×4=8；

（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P=AO=4，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点C的横坐标为2+4=6，
当x=6时，y=$\frac{8}{6}$=$\frac{4}{3}$，即C（6，$\frac{4}{3}$），
设直线PC的解析式为y=kx+b，
把P（2，4），C（6，$\frac{4}{3}$）代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{\frac{4}{3}=6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线PC的表达式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{16}{3}$；

（3）如图，延长A'C交x轴于D，
由平移可得，A'P∥AO，
又∵A'C∥y轴，P（2，4），
∴点A'的纵坐标为4，即A'D=4，
如图，过B'作B'E⊥y轴于E，
∵PB'∥y轴，P（2，4），
∴点B'的横坐标为2，即B'E=2，
又∵△AOB≌△A'PB'，
∴线段AB扫过的面积=平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积=BO×B'E+AO×A'D=3×2+4×4=22．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用以及平移的性质的运用，解决问题的关键是将线段AB扫过的面积转化为平行四边形POBB'的面积+平行四边形AOPA'的面积．