Question

1．如图，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，点E，F，G，H分别在矩形的四条边上，EF与GH交于点O，连结HE，GF．

（1）如图1，若HE∥GF，求证：△AEH∽△CFG；
（2）当点E，G分别与点A，B重合时，如图2所示，若点F是CD的中点，且∠AHB=∠AFB，求AH+BH的值；
（3）当GH⊥EF，HE∥FG时，如图3所示，若FO：OE=3：2，且阴影部分的面积等于$\frac{26}{15}$，求EF，HG的长．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，∠A=∠C=90°，只要证明∠AEH=∠CFG即可证明；
（2）如图2中，过点A作AR⊥BF于R．AF=BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，由S_△ABF=$\frac{1}{2}$•BF•AR=$\frac{1}{2}$×3×2，推出AR=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$，RF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，由△BAH∽△ARF，AB：AH：BH=AR：RF：AF=3：4：5，AB=2，可得AH=$\frac{8}{3}$，BH=$\frac{10}{3}$；
（3）如图3中，过F、G分别作FM⊥AB于M，GN⊥AD于N，则△FME∽△GNH，可得$\frac{EF}{GH}$=$\frac{FM}{GN}$=$\frac{3}{2}$，设OF=9x，OE=6x，则GO=6x，OH=4x，由S_阴=S_△FOG+S_△EOH=$\frac{1}{2}$•6x•9x+$\frac{1}{2}$•6x•4x=39x²=$\frac{26}{15}$，解得x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$，由此即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，

在矩形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB∥CD，
∴∠AEF=∠CFE，
∵HE∥GF，
∴∠HEF=∠GFE，
∴∠AEH=∠CFG，
∴△AEH∽△CFG．

（2）如图2中，过点A作AR⊥BF于R．

∵AF=BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，S_△ABF=$\frac{1}{2}$•BF•AR=$\frac{1}{2}$×3×2，
∴AR=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$，
∴RF=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∵∠AHB=∠AFB，
∴△BAH∽△ARF，
∵AB：AH：BH=AR：RF：AF=3：4：5，
∵AB=2，
∴AH=$\frac{8}{3}$，BH=$\frac{10}{3}$，
∴AH+BH=6．

（3）如图3中，过F、G分别作FM⊥AB于M，GN⊥AD于N，则△FME∽△GNH，

∴$\frac{EF}{GH}$=$\frac{FM}{GN}$=$\frac{3}{2}$，设OF=9x，OE=6x，则GO=6x，OH=4x，
∴S_阴=S_△FOG+S_△EOH=$\frac{1}{2}$•6x•9x+$\frac{1}{2}$•6x•4x=39x²=$\frac{26}{15}$，
解得x=$\frac{\sqrt{10}}{15}$，
∴EF=15x=$\sqrt{10}$，GH=10x=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查相似形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．