Question

16．如图，矩形纸片AOCB，以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，折叠纸片，使点C与点A重合，点B落在点B′处，折痕为EF，若顶点B的坐标为（9，3），求点E、F、B′的坐标．

Answer 1

分析 过E作EG⊥OC，根据点B的坐标可求出OA=BC=3，OC=AB=9，设OF=x，在Rt△AOF中利用勾股定理可求出OF的长，进而可求出CF的长，可得点F坐标，同理在Rt△AEB′中利用勾股定理可求出AE的长，进而可求出BE的长，得出OG的长，可得点E坐标，证△B'AH∽△AFO，根据对应边成比例得B'H=$\frac{9}{5}$、AH=$\frac{12}{5}$，可得点B'坐标．

解答 解：过E作EG⊥OC，

∵点B的坐标为（9，3），
∴OA=BC=3，OC=AB=9，
设OF=x，则AF=CF=9-x，
在Rt△AOF中，AF²=OA²+OF²，即（9-x）²=3²+x²，解得x=4，
∴点F坐标为（4，0），
同理，设B′E=x，则AE=9-x，在Rt△AEB′中，
AE²=AB′²+B′E²，即（9-x）²=3²+x²，解得x=4，即BE=4，
∴OG=AE=AB-BE=5，
∴E点坐标为（5，3）．
过点B'作B'H⊥y轴于点H，
∵∠B'AF=90°，∠B'HA=∠AOF=90°，
∴∠B'AH=∠AFO，
∴△B'AH∽△AFO，
∴$\frac{B'H}{AO}=\frac{AH}{OF}=\frac{AB'}{FA}$，即$\frac{B'H}{3}=\frac{AH}{4}=\frac{3}{5}$，
解得：B'H=$\frac{9}{5}$，AH=$\frac{12}{5}$，
则OH=AO+AH=3+$\frac{12}{5}$=$\frac{27}{5}$，
故点B'的坐标为（$\frac{9}{5}$，$\frac{27}{5}$）．

点评 本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．