Question

6．如图，己知点A（2，0），直线y=2x+2交x轴于点B，在此直线上找点C，使△ABC为等腰三角形，试求点C的坐标．

Answer 1

分析 根据直线y=2x+2求得OB=2，由A（2，0），得到OA=2，AB=3，①如图1，当BC=AC时，△ABC为等腰三角形，过C作CD⊥AB，根据等腰三角形的性质得到BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，求得OD=$\frac{1}{2}$，于是得到C（$\frac{1}{2}$，3）；②如图2，当BC=AB=3时，△ABC为等腰三角形，过C作CD⊥AB，根据勾股定理求到C（-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），③如图2，当AC=AB=3时，△ABC为等腰三角形，根据勾股定理求得C（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

解答 解：∵直线y=2x+2交x轴于点B，
∴B（-1，0），
∴OB=2，
∵A（2，0），
∴OA=2，∴AB=3，
①如图1，当BC=AC时，△ABC为等腰三角形，
过C作CD⊥AB，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$，
∵C在直线y=2x+2上，
∴CD=3，
∴C（$\frac{1}{2}$，3）；
②如图2，当BC=AB=3时，△ABC为等腰三角形，
过C作CD⊥AB，
设OD=x，则CD=2x+2，
∵BD²+CD²=BC²，
∴（1+x）²+（2x+2）²=3²，
∴x=-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，（负值舍去），
∴C（-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），
③如图2，当AC=AB=3时，△ABC为等腰三角形，
过C作CD⊥AB，
设OD=x，则CD=2x+2，AD=2-x
∵AD²+CD²=AC²，
∴（2-x）²+（2x+2）²=3²，
∴x=$\frac{1}{5}$，（负值舍去），
∴C（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$），
综上所述：当△ABC为等腰三角形，点C的坐标为（$\frac{1}{2}$，3），（-1+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$），（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，分类讨论是解题的关键．