Question

4．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＞0）上的一点C过等边三角形OAB三条高的交点，则点B的坐标为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）．

Answer 1

分析 延长BC交OA于H，连结OC，如图，根据等边三角形的性质得BH⊥OA，OC平分∠AOB，CB=CO，利用含30度的直角三角形三边的关系可表示出C（$\sqrt{3}$t，t），再把C（$\sqrt{3}$t，t）代入中可求出t，从而得到BH的长，然后写出B点坐标．

解答 解：延长BC交OA于H，连结OC，如图，
∵点C为等边三角形OAB三条高的交点，
∴BH⊥OA，OC平分∠AOB，CB=CO，
在Rt△OCH中，设CH=t，
∵∠COH=30°，
∴OH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$t，
∴C（$\sqrt{3}$t，t），
把C（$\sqrt{3}$t，t）代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$得$\sqrt{3}$t•t=$\sqrt{3}$，解得t₁=-1（舍去），t₂=1，
∴OH=$\sqrt{3}$，CH=1，
∴BH=CH+BC=$\sqrt{3}$+1，
∴B（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）．
故答案为（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$+1）．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等边三角形的性质．