Question

19．如图，矩形ABCD中，AB=2AD，点A（0，1），点C、D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，AB与x轴的正半轴相交于点E，若E为AB的中点，则k的值为$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 证得△AOE≌△BHE≌△DFA≌△BGC，得出BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k-1，即可求得D和C的坐标，然后由反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积等于k列出方程组，通过解方程组可以求得k的值．

解答 解：如图，作DF⊥y轴于F，过B点作x轴的平行线与过C点垂直与x轴的直线交于G，CG交x轴于K，作BH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAF+∠OAE=90°，
∵∠AEO+∠OAE=90°，
∴∠DAF=∠AEO，
∵AB=2AD，E为AB的中点，
∴AD=AE，
在△ADF和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠AEO}\\{∠AFD=∠AOE=90°}\\{AD=AE}\end{array}\right.$
∴△ADF≌△EAO（AAS），
∴DF=OA=1，AF=OE，
∴D（1，k），
∴AF=k-1，
同理；△AOE≌△BHE，△ADF≌△CBG，
∴BH=BG=DF=OA=1，EH=CG=OE=AF=k-1，
∴OK=2（k-1）+1=2k-1，CK=k-2
∴C（2k-1，k-2），
∴（2k-1）（k-2）=1•k，
解得k₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，k₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∵k-1＞0，
∴k=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
故答案是：$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．