Question

14．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=
60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先由△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得△AEF是等边三角形，当AE⊥BC时得出△AEF的面积最小值即可．

解答 解：当AE⊥BC时，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACF}\\{∠AEB=∠AFC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵当AE⊥BC时，AB=4，
∴AE=$2\sqrt{3}$，
∴△AEF的面积最小值=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{3}×2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
故答案为：$3\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质解答．