Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=$\frac{4}{5}$．当BD=6时，△ABD与△DCE全等．

Answer 1

分析 过A作AF⊥BC于F，解直角三角形求出 BF，求出BC，求出∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，根据AAS推出全等即可．

解答 解：当BD=6时，△ABD和△DCE全等，
理由是：过A作AF⊥BC于F，
则∠AFB=∠AFC=90°，
∵AB=AC=10，
∴BF=CF，∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=$\frac{4}{5}$，
∴cosB=$\frac{4}{5}$=$\frac{BF}{AB}$，
∴BF=8，
∴BC=2BF=16，
∵BD=6，
∴CD=16-6=10，
∵AB=10，
∴CD=AB，
∵∠ADE=∠B=α，
∴∠BAD+∠ADB=180°-α，∠CDE+∠ADB=180°-α，
∴∠BAD=∠CDE，
在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAD=∠CDE}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
即当BD=6时，△ABD与△DCE全等．
故答案为：6．

点评 本题考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质和判定的应用，能熟练运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．