Question

9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3$\sqrt{2}$，点P为线段AC上一个动点，过点P作PD⊥AC交AB于点D，将△APD沿直线PD折叠，点A的对应点为E，连接DE，BE当△DEB的两直角边之比为$\frac{1}{2}$时，AP的长为2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由翻折变换的性质得到AP=EP，AD=DE，根据已知条件得到AB=6，∠A=45°，于是得到△ADE是等腰直角三角形，当△DEB的两直角边之比为$\frac{1}{2}$时，分两种情况：①当DE：BD=1：2，推出AD：BD=1：2，求得AD=2，于是得到结论；②当DE：BD=2：1，求得AD：BD=2：1，求得AD=4，于是得到AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由翻折变换的性质得：AP=EP，AD=DE，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3$\sqrt{2}$，
∴AB=6，∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
当△DEB的两直角边之比为$\frac{1}{2}$时，
分两种情况：①当DE：BD=1：2，
∴AD：BD=1：2，
∴AD=2，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$．
②当DE：BD=2：1，
∴AD：BD=2：1，
∴AD=4，
∴AP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=2$\sqrt{2}$．
综上所述：当△DEB的两直角边之比为$\frac{1}{2}$时，AP的长为：2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论．