如图.点A1在直线l1:y=$\sqrt{3}$x上.过点A1作A1B1⊥l1交直线l2:y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x于点B1.以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1.再过点C1作A2B2⊥l1.分别交直线l1和l2于A2.B2两点.以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2.-按此规律进行下去.则第n个等边三角形AnBnCn的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，点A₁（1，$\sqrt{3}}$）在直线l₁：y=$\sqrt{3}$x上，过点A₁作A₁B₁⊥l₁交直线l₂：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x于点B₁，以A₁B₁为边在△OA₁B₁外侧作等边三角形A₁B₁C₁，再过点C₁作A₂B₂⊥l₁，分别交直线l₁和l₂于A₂，B₂两点，以A₂B₂为边在△OA₂B₂外侧作等边三角形A₂B₂C₂，…按此规律进行下去，则第n个等边三角形A_nB_nC_n的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（\frac{3}{2}）^{2n-3}$．（用含n的代数式表示）

分析由点A₁的坐标可得出OA₁=2，根据直线l₁、l₂的解析式结合解直角三角形可求出A₁B₁的长度，由等边三角形的性质可得出A₁A₂的长度，进而得出OA₂=3，通过解直角三角形可得出A₂B₂的长度，同理可求出A_nB_n的长度，再根据等边三角形的面积公式即可求出第n个等边三角形A_nB_nC_n的面积．

解答解：∵点A₁（1，$\sqrt{3}}$），
∴OA₁=2．
∵直线l₁：y=$\sqrt{3}$x，直线l₂：y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，
∴∠A₁OB₁=30°．
在Rt△OA₁B₁中，OA₁=2，∠A₁OB₁=30°，∠OA₁B₁=90°，
∴A₁B₁=$\frac{1}{2}$OB₁，
∴A₁B₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵△A₁B₁C₁为等边三角形，
∴A₁A₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$A₁B₁=1，
∴OA₂=3，A₂B₂=$\sqrt{3}$．
同理，可得出：A₃B₃=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，A₄B₄=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，…，A_nB_n=$（\frac{3}{2}）^{n-2}$$\sqrt{3}$，
∴第n个等边三角形A_nB_nC_n的面积为$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$A_nB_n²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（\frac{3}{2}）^{2n-3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$$（\frac{3}{2}）^{2n-3}$．