Question

8．如图，P为?ABCD的边AD上的一点，E、F分别是PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S₁、S₂，若S=3，则S₁+S₂的值是（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积=△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△PAB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．

解答 解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S_△PDC=S_△CQP，S_△ABP=S_△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S_△PEF：S_△PBC=1：4，S_△PEF=3，
∴S_△PBC=S_△CQP+S_△QPB=S_△PDC+S_△ABP=S₁+S₂=12．
故选：C．

点评 此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．