Question

15．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化，例如：
①$\frac{2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{{\sqrt{5}•\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$；②$\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}=\frac{{1×（\sqrt{2}+1）}}{{（\sqrt{2}-1）（\sqrt{2}+1）}}=\frac{{\sqrt{2}+1}}{{{{（\sqrt{2}）}^2}-{1^2}}}=\sqrt{2}+1$等运算都是分母有理化．根据上述材料，
（1）化简：$\frac{1}{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$
（2）计算：$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{10}+\sqrt{9}}}$
（3）$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}}$．

Answer 1

分析 （1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案；
（2）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案；
（3）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{（\sqrt{3}-\sqrt{2}）（\sqrt{3}+\sqrt{2}）}$=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$；

（2）$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{10}+\sqrt{9}}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{10}$-$\sqrt{9}$
=$\sqrt{10}$-1；

（3）$\frac{1}{{\sqrt{2}+1}}+\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{2}}}+\frac{1}{{\sqrt{4}+\sqrt{3}}}+…+\frac{1}{{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$
=$\sqrt{n}$-1．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确找出有理化因式是解题关键．